Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas presentan una característica nueva, frente a las polinómicas y racionales: son periódicas. Sus valores, y por tanto su comportamiento, se repite una y otra vez, cada cierto intervalo.

Esa curiosa propiedad y el hecho incuestionable de que la Naturaleza ofrece innumerables ejemplos de fenómenos periódicos han encumbrado a esta familia de funciones a lo más alto de los métodos de la Matemática aplicada.

 

Movimiento armónico simple de una bola suspendida de un resorte.

Cardiología, sismología, electrónica, óptica, mecánica, música, telecomunicación, aeronáutica, cristalografía, etc., son campo abonado para el uso de estas importantes funciones.

La función Seno

Las razones trigonométricas asignan a cada número real (el ángulo en radianes) un único número. En consecuencia, pueden verse como funciones definidas en toda la recta real. Son las llamadas funciones trigonométricas.

Por ejemplo, si denotamos por x el ángulo (en radianes), la función seno y = sen x  hace corresponder a cada ángulo x el valor del seno de x. Esta función es continua en toda la recta real y tiene la gráfica que muestra.

 

Puesto que tras una, dos, tres,… vueltas completas al círculo regresamos al punto de partida; los valores de la función seno se repiten cada 2Pi  unidades. Por eso su gráfica es igual en el intervalo (0; 2Pi) que en (2Pi; 4Pi), o en (4Pi; 6Pi), etc.

Eso demuestra que la función seno es periódica con período 2 , de acuerdo con la siguiente definición:

Una función (no constante) y = f(x) se dice que es periódica si hay algún número T tal que f(x + T) = f(x) para todo x. La gráfica repite sus valores cada T unidades. El menor de los valores T que cumplan esa condición es el período de la función.

                     Figura 11.4 -  Fenómenos periódicos                                                 Un fenómeno no periódico                          

Ejemplo

(a)     Las funciones y = sen x, y = sen 2x, y = sen 3x,… son periódicas. El período de y = sen nx, con n entero positivo, es T = 2Pi/n.

 

(b)     Ningún polinomio (de grado n > 0) define una función periódica. En efecto, todo polinomio de grado n > 0 tiene algún extremo local y además a lo sumo tiene n – 1 extremos locales. Por tanto, su gráfica no puede repetirse infinitas veces, ya que en tal caso tendría infinitos extremos locales.

Traslaciones de la gráfica del seno

Las traslaciones verticales producen la gráficas periódicas y = sen x + k; las horizontales dan las gráficas periódicas y = sen (x + k).

La función Coseno

Entre las traslaciones horizontales de la gráfica del seno hay una muy especial: la trasladada k = Pi/2 unidades (o sea, radianes), porque coincide con la gráfica de la función coseno y = cos x.

 

La gráfica de y = sen x, trasladada Pi/2 unidades a la izquierda, da la gráfica de la función y = cos x.

 

                                             Para distinguir las gráficas del seno y del coseno, recuerda que sen 0 = 0 y cos 0 = 1

La función coseno es periódica, con período 2Pi , por la misma razón que el seno.

Además, sen (- x ) = - sen x  nos dice que la función seno es impar y cos (- x ) = cos x  que la función coseno es par.

La función Tangente

La función tangente y = tg x es el cociente de las funciones seno y coseno:

 

No está definida en los puntos x = (2n + 1)Pi/2, con n entero arbitrario, en los cuales se anula el coseno (el denominador). Así pues, su dominio es toda real excepto esos puntos. Es continua en ese dominio y tiene en x = (2n + 1)Pi/2  discontinuidades de tipo infinito.

 

Es periódica, propiedad que hereda del seno y del coseno, pero no con período 2Pi , sino con período Pi.
Pues cumple que   tg (x + Pi ) = tg x, para todo x.