Las funciones trigonométricas presentan una
característica nueva, frente a las polinómicas y racionales: son periódicas.
Sus valores, y por tanto su comportamiento, se repite una y otra vez, cada
cierto intervalo.
Esa curiosa propiedad y el hecho incuestionable de
que la Naturaleza ofrece innumerables ejemplos de fenómenos periódicos han
encumbrado a esta familia de funciones a lo más alto de los métodos de la
Matemática aplicada.
Movimiento armónico
simple de una bola suspendida de un resorte.
Cardiología, sismología, electrónica, óptica,
mecánica, música, telecomunicación, aeronáutica, cristalografía, etc., son
campo abonado para el uso de estas importantes funciones.
La función Seno
Las razones trigonométricas asignan a cada número
real (el ángulo en radianes) un único número. En consecuencia, pueden verse
como funciones definidas en toda la recta real. Son las llamadas funciones trigonométricas.
Por ejemplo, si denotamos por x el ángulo (en radianes), la función
seno y = sen x hace corresponder a cada
ángulo x el valor del seno de x. Esta función es continua en toda la
recta real y tiene la gráfica que muestra.
Puesto que tras una, dos, tres,… vueltas completas
al círculo regresamos al punto de partida; los valores de la función seno se
repiten cada 2Pi
unidades. Por eso su gráfica es igual en el
intervalo (0; 2Pi) que en (2Pi; 4Pi), o en (4Pi; 6Pi), etc.
Eso demuestra que la
función seno es periódica con período 2
, de acuerdo con la siguiente definición:
Una función (no constante) y = f(x) se dice que es periódica
si hay algún número T tal que f(x + T) = f(x) para todo x. La gráfica repite sus valores cada T unidades. El menor de los valores T que cumplan esa condición es el período de la función.
Figura 11.4 - Fenómenos periódicos
Un fenómeno no periódico
Ejemplo
(a) Las
funciones y = sen x, y = sen 2x, y = sen 3x,… son periódicas. El período de y = sen nx, con n entero positivo, es T = 2Pi/n.