Fenómenos periódicos

La periodicidad es una propiedad muy especial; pocas funciones la poseen. Este hecho, junto con la diversidad de fenómenos de la Naturaleza que tienen comportamiento periódico, les confieren una importancia capital, ya que ellas o ciertas variantes suyas son candidatas a servir de modelos matemáticos para describir los fenómenos en cuestión.

Que las fuentes naturales de fenómenos periódicos son muy diversas lo confirma el próximo ejemplo.

Producen fenómenos esencialmente periódicos, entre otros:

 

Estos procesos periódicos adoptan formas más o menos complicadas, según el caso. El modelo matemático más sencillo describe una situación muy frecuente en las aplicaciones, el llamado movimiento armónico simple.

Sumas de funciones trigonométricas

Sólo por ser periódicas, las funciones trigonométricas ocuparían ya un lugar destacado en las matemáticas aplicadas. Pero su importancia es infinitamente mayor a causa de una propiedad inesperada: en 1822 J. Fourier lanzó la idea de que la gráfica de cualquier función se puede reproducir en un intervalo mediante sumas de sen x, cos x, sen 2x, cos 2x,… Los matemáticos de la época no creyeron su afirmación, pero hoy sabemos que es cierta (con algunos matices).

Pues bien, con sumas más o menos largas de senos y cosenos, y con coeficientes apropiados, se puede imitar cualquier gráfica en un intervalo. Ésta es la base del llamado análisis de Fourier, uno de los métodos matemáticos más utilizados en las ciencias aplicadas.

Ejemplo

 

Si en un piano una tecla hace vibrar a la vez dos cuerdas fuera de tono, se produce una onda acústica de la forma A [sen xt + sen x´t]. En la gráfica apreciamos diferentes sonoridades en cada instante (esas variaciones se llaman compás). Al afinar las cuerdas, se consigue que el compás desaparezca.

Aplicación: En la figura puedes ver los cambios de la presión del pulso en el cuerpo humano al ir pasando la sangre de los vasos grandes a los pequeños. Señalamos sus analogías y diferencias entre las cinco gráficas.

El período se mantiene invariable, la amplitud decrece y el marcado carácter periódico que se aprecia en los grandes vasos (la aorta, por ejemplo) se va difuminando conforme el flujo sanguíneo va llegando a vasos menores.

La excepción está en el paso a la femoral (menor que la aorta), donde la presión sistólica es mayor que en la propia aorta.

Ello se debe a un efecto de reflejo de la onda del pulso en las arterias de las piernas, bastante más estrechas. Es algo parecido a lo que sucede con una ola que golpea en un dique y, al reflejarse, choca con otra ola que llegaba y produce olas anormalmente altas.